扔鸡蛋算法问题
这题据说是 GOOGLE的面试题, 但是却真实的被一些软件公司拿来考应聘者.
题意是: 给你两个鸡蛋, 有个100层楼, 你可以把鸡蛋从任意一层楼扔下, 鸡蛋可能破, 也可能不破, 如果不破的话, 你可以继续用这个鸡蛋扔. 你需要用这两个鸡蛋来试出鸡蛋会破的最小楼层高度. 这两个鸡蛋一模一样. 问你采用什么策略可以使最坏情况下的尝试次数最少?
什么是最差情况? 如果你只有一个鸡蛋, 那么你最坏需要100次(需要从1层楼开始测试)才可以得到结论.
最直接的做法就是从第一层开始试, 然后第二层以此类推, 但是这种方法只需要用到1个鸡蛋即可. 如果第N层鸡蛋没碎但是第N+1层碎了, 答案就是N. 这种情况下最坏需要尝试100次.
如果我们在第50层扔呢? 如果鸡蛋碎了, 那么答案就在第1到第49层, 反之答案就在第51到第100. 鸡蛋碎了, 我们只有一个鸡蛋, 就只能从1试到49, 最坏情况下是 1 + 49次, 这种情况比上面最直接的做法(49)还差. 如果鸡蛋没碎, 那么我们还有两个鸡蛋, 但是层数只有50层了, 这时候就是一个子问题了.
同样, 再举个例子, 如果我们第一次在第33层, 鸡蛋碎了, 我们需要最坏情况下再试32次, 答案是32+1次. 如果鸡蛋不碎, 我们需要用两个鸡蛋试一下剩下的67层.
也就是说, 如果我们用 f(n) 来表示在第 n 层扔鸡蛋最差情况下的次数, 我们有两种可能, 再试 n – 1 次或者在剩下 n – i 层里用两个鸡蛋(子问题)的次数的最大值.
所以, 问题也就是找出所有情况下使 1 + max(i – 1, f(n – i)) 值最小的次数. 这里 1 就是因为你已经扔了一次了.
f(n) = min(1 + max(i – 1, f(n – i))) i 的范围从1到n
显然 f(1) = 1
用 C++ 来算算:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | // cached results; vector<int> cache(101, 0); int f(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (cache[n] > 0) { // 已经计算出结果了. return cache[n]; } auto v = n + 1; for (auto i = n - 1; i >= 2; -- i) { v = min(v, 1 + max(i - 1, f(n - i))); } cache[n] = v; // 把中间结果保存起来, 避免重复计算. return v; } |
// cached results;
vector<int> cache(101, 0);
int f(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
if (cache[n] > 0) { // 已经计算出结果了.
return cache[n];
}
auto v = n + 1;
for (auto i = n - 1; i >= 2; -- i) {
v = min(v, 1 + max(i - 1, f(n - i)));
}
cache[n] = v; // 把中间结果保存起来, 避免重复计算.
return v;
}这里是把递归求解变成一个动态规化的最简单的方法, 就是缓存中间结果, 否则程序算不出结果. 以上求解得 14.
英文: Google’s Two Egg’s Problem
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