用动态规化或者深度优先算法来数2英镑有多少种组合方法
英国的英镑硬币有 1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), 和 £2 (200p). 比如我们可以用以下方式来组成2英镑 1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p 问: 一共有多少种方式可以组成2英镑? 注意 不能有重复, 比如 …
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组合数学中卡塔兰数的动态规化求解方法
卡塔兰数(Catalan Numbers) 是个很神奇的数列. 高中信息学竞赛很喜欢出有关卡塔兰数的问题, 特别是在初赛(笔试)的时候, 经常会有一题真空题就是卡塔兰数的应用. 在组合数学中, 卡塔兰数有着许多应用, 卡塔兰数的前几个数字是: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, …
袋鼠过河题解(动态规化+贪心算法)
一只袋鼠要从河这边跳到河对岸, 河很宽, 但是河中间打了很多桩子, 每隔一米就有一个, 每个桩子上都有一个弹簧, 袋鼠跳到弹簧上就可以跳的更远. 每个弹簧力量不同, 用一个数字代表它的力量, 如果弹簧力量为5, 就代表袋鼠下一跳最多能够跳5米, 如果为0, 就会陷进去无法继续跳跃. 河流一共N米宽, 袋鼠初始位置就在第一个弹簧上面, 要跳到最后一个弹簧之后就算过河了, 给定每个弹簧的力量, 求袋鼠最少需要多少跳能够到达对岸. 如果无法到达输出-1 输入描述: 输入分两行, 第一行是数组长度N (1 ≤ N ≤ 10000), 第二行是每一项的值, 用空格分隔. 输出描述: …
谷歌的扔鸡蛋问题
这题据说是 GOOGLE的面试题, 但是却真实的被一些软件公司拿来考应聘者. 题意是: 给你两个鸡蛋, 有个100层楼, 你可以把鸡蛋从任意一层楼扔下, 鸡蛋可能破, 也可能不破, 如果不破的话, 你可以继续用这个鸡蛋扔. 你需要用这两个鸡蛋来试出鸡蛋会破的最小楼层高度. 这两个鸡蛋一模一样. 问你采用什么策略可以使最坏情况下的尝试次数最少? 什么是最差情况? 如果你只有一个鸡蛋, 那么你最坏需要100次(需要从1层楼开始测试)才可以得到结论. 最直接的做法就是从第一层开始试, 然后第二层以此类推, 但是这种方法只需要用到1个鸡蛋即可. 如果第N层鸡蛋没碎但是第N+1层碎了, 答案就是N. 这种情况下最坏需要尝试100次. 如果我们在第50层扔呢? 如果鸡蛋碎了, 那么答案就在第1到第49层, 反之答案就在第51到第100. 鸡蛋碎了, 我们只有一个鸡蛋, …
ACM题解 – 经典0/1背包问题
0/1背包问题是非常经典的算法问题. 要求是: 给定 n 个物件, 每个物件的重量(或体积)是 A 那么请问一个最多装重(或体积) m 的背包最多可以装下多少这些物件. 如果用数学表示这个问题: max(sum(j * A)) subject to: j = {0, 1} and sum(j * A) <= m where 0 =< …
进一步改进动态规化的空间复杂度
昨天发了这个帖子讲到动态规化的2种改进, 一种是记忆, 另一种是把递归改成迭代. 今天稍微想了一下, 还可以从空间复杂度里入手. 我们先看一下之前的’最优’方案: function f($x, $y) { $ans = array(); for ($i = 0; $i <= $x; ++ $i) $ans = 1; for ($i = 0; …
从A到B再到C有多少种方法?
有这么一题, 一个人从A到C, 一定要经过B, 并且每次走一步向东或者向北, 不能回头, 问一共有多少不同的方法. 暴力搜索(穷举) 理论上说, 你可以用暴力列举所有从A到C的走法 然后再一一比较是否经过B, 不过这种方法很低效因为需要列举出所有走法. 如果水平有X步垂直有Y步那么一共的方案有: or 可以这么理解, 一共有 x+y 步 选其中 x 或者 y 步来往东或者往北走. 纯数学方法: 排列组合 细想一下, 我们只要分两个阶段即可: 第一个阶段计算由A到B的方法数, 第二个阶段计算由B到C的方法数, 然后这么一乘就是最后的方案数了. …