欧几里得定理 (Euclid’s theorem): 无限素数的证明
质数定义为只能被1和它本身整除的正整数, 质数有无穷多个的证明如下:
证明: 假设质数有有限个, 设它们为p1,p2,p3,…,pn, 则它们的乘积N=p1p2p3…pn, 由于N是一个正整数, 则N+1也是一个正整数, 而N+1不能被p1,p2,p3,…,pn整除, 因此N+1必定是一个质数, 这与假设矛盾, 因此质数有无穷多个.
素数有无限个的证明被称为欧几里德定理. 欧几里得定理指出, 如果你采用任何有限的素数集, 那么你总能找到一个不在该集合中的素数.
为了证明这个定理, 我们将使用数学上的反证法. 假设有一个有限的素数集, P = {p1, p2, p3, …, pn}. 我们假设这个集合包含所有素数.
现在, 让我们考虑数字 N = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1. 这个数字大于集合 P 中的任何素数, 因为它是集合中所有素数加一的乘积 .
现在, 我们将证明 N 是质数或合数. 如果 N 是一个合数, 那么它一定能被某个素数 q 整除, 其中 q 不在集合 P 中. 这意味着 q 是一个不在集合 P 中的素数, 这与我们假设集合相矛盾 P 包含所有素数>.
因此, N一定是一个素数, 也就是说存在一个不在集合P中的素数. 这与我们假设集合P包含所有素数的假设相矛盾, 从而证明素数有无穷多个数字.
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节选自第563天教娃编程.
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英文: Euclid’s theorem – Proof of Unlimited Prime Numbers
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