Category: 数学
2003年高考数学，因为试卷被盗临时启用备用卷，难度陡增，成为许多考生难以忘记的一场考试。作者回忆当年走出考场后的崩溃与无助，也感慨一张试卷如何改变了无数人的命运。多年以后再回头看，那场考试留下的不只是分数，还有对人生无常的深刻记忆。 2003 年福建高考数学使用的是全国卷。那一年因为四川南充南部县发生高考试卷被盗案，外界普遍说法是临时启用了备用卷，所以数学难度异常高。后来福建从 2004 年开始语文、数学、英语自行命题，直到 2016 年才再次全部科目回归全国卷。 公开报道提到，福建“上一次全部科目使用全国卷是 2003 年”，2004 年起语数英开始自行命题。 发生在四川南充南部县，作案人杨博盗走了语文、英语、文科数学、理科数学、综合等试卷，后来被判刑。 2003全国高考数学卷难度地狱 我是2003年参加高考的。 如果没记错，那时候的考试安排是：第一天上午考语文，下午考数学；第二天上午考英语，下午考理综，也就是物理、化学和生物。 我们当时并不是在本校考试，而是要去另一所学校参加高考。那种感觉现在想起来还很清楚：陌生的考场，紧张的气氛，所有人都绷着一根弦。 但真正让我至今难忘的，是第一天下午的数学。 数学一考完，整个考场外几乎是一片“狼嚎”。很多同学出来以后都崩溃了，听说还有不少人当场哭了。那种难，不是平时考试最后几道大题做不出来的难，而是从选择题开始就让人怀疑人生。 我自己当时也完全懵了。 平时数学正常发挥的话，基本上是120分起跳。可那一次，我在考场里从一开始就觉得不对劲：怎么选择题都这么吃力？怎么大题几乎无从下手？我当时第一反应不是“题太难”，而是怀疑自己是不是今天脑子坏了。 那种惊恐感，我到现在都记得。 考完回家的路上，我直接崩溃大哭，觉得自己完蛋了。那真的是我人生中很黑暗的一个时刻。后来才知道，并不是我一个人考砸了，而是大家都很惨。福建省那年数学平均分据说不到60分。我们班好像最高也就96分，有同学考了94分，已经算是非常厉害了。我自己最后是80多分，放在平时简直不可想象。 后来才知道，2003 年福建高考数学用的是全国卷。那一年因为四川南充发生高考试卷被盗案，外界普遍说法是临时启用了备用卷。也正因为如此，那年的数学全国卷难度异常高，成了很多考生一辈子忘不了的一张卷子。 而数学这套B卷，据说难度接近奥赛水平。因为原本也没真正打算启用，所以难度设置得非常离谱。结果一启用，就把一大批普通考生打懵了。 那个偷卷的人后来被判了刑。更讽刺的是，据说他本身成绩并不差，考了500多分，根本不需要靠犯罪改变命运。可是一次错误选择，不仅毁了自己，也间接影响了无数考生的人生轨迹。出来以后因为有案底，也很难再找到一份正经工作。 这么多年过去了，我现在再看那年的数学题，真是一题也不会做。 但真正让我记忆深刻的，不只是题目本身有多难，而是那种命运突然失控的感觉。高考本来就是一场高度紧张的筛选，数学又往往是拉开差距的关键科目。结果那一年，很多平时数学很强、本来可以靠数学拉分的学生，也被这张试卷打乱了节奏。 当然，也不排除真正的天才。听说那一年依然有人能考140多分。对这种人来说，什么样的难度似乎都挡不住。但对绝大多数普通考生来说，那张试卷真的像一堵突然立起来的墙。 …
组合数学入门（2）：卡特兰数 卡特兰数是组合数学中最重要的数列之一。它们出现在许多表面上看起来完全不同的计数问题中，但实际上这些问题都具有相同的内在结构：平衡性、递归性以及“不交叉”约束。 在本文中，我们将介绍卡特兰数/Catalan，展示几个重要公式，并解释一些经典应用场景，特别是路径不能越过对角线的网格行走问题。 什么是卡特兰数？ 卡特兰数列如下： 第 n 个卡特兰数的一般公式为： 一个等价形式为： 这两个公式完全等价，在组合数学中都经常出现。 为什么卡特兰数很重要 卡特兰数用于计数许多具有递归结构或平衡结构的问题。它们通常出现在以下情形中： 对象必须以平衡方式构造， 路径必须保持在某个边界之内， 配对之间不能交叉， 结构可以被拆分为独立的左右部分。 因此，它们广泛出现在括号、树、网格、多边形以及栈操作等问题中。 一些重要的卡特兰公式 闭式公式 差分等价形式 递推公式 这个递推公式非常重要。它说明：如果一个规模为 n 的结构可以拆分为左侧大小为 i、右侧大小为 n-1-i 的两个部分，那么总数就是对所有可能拆分方式求和。 生成函数 渐近增长 …
理解 Sigma 函数：因子、乘法性与公式推导 一文看懂 Sigma 函数：因子分解的终极威力！ σ(n) 完全解析：为什么求和函数能“自动”变成乘积？ 数学之美：Sigma 函数的推导、公式与 Python 实现 从几何级数到质因数：Sigma 函数的魔法公式大揭秘 搞懂 σ(n) 的那一天，我看到了数学的秩序 为什么 σ(n) = 乘积？带你走进数论的核心思想 Divisor 终极指南：Sigma 函数推导 + 代码 一篇搞定 Sigma 函数，记作 …
组合简介（组合数学入门） 视频：油管/Youtube | B站/小破站 | 微博视频 | 西瓜视频 | 微信视频号 | X/推特 | 小红书 | Facebook 组合计数是在顺序不重要时选择项目的方式。我们从一个简单的格子行走示例出发建立直觉，介绍二项式记号，推导公式，解释递推关系 ，并把所有内容联系到帕斯卡三角。 格子行走示例 — 从左下到右上路径 想象你只能向右（R）或向上（U）移动。要从左下走到需要三次向右和两次向上的点，每一条最短路径都是由五步组成的序列，其中包含三个 R 和两个 U。 每条有效路径只是从五个位置中选择两个放 U（其余为 R）。所以这样的路径数就是“从 5 …
视频：油管/Youtube | B站/小破站 | 微博视频 | 西瓜视频 | 微信视频号 | X/推特 | 小红书 | Facebook 如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降） “√2 是无理数”这一说法的意思是不存在整数 和 且 ，使得 。 方法一 — 反证法 …
给娃补课，数学三角函数。娃今天跟我说，数学课上用到的三角函数让他很confused，因为在公校根本没教过。以前就听说私校进度快，果然是真的。 顺便感谢一下 Meta，这块白板还是好多年前（疫情那年）面试 Meta 时送的，当时还能报销。 娃在公校的时候，数学袋鼠竞赛Gold金奖, 我媳妇说这就是普娃的天花板了”>数学算是数一数二的好。有次考试，一个同学问老师成绩，老师说，大部分分数在 3 到 4 分之间，但有一个人是 7 分。结果同学们都看着他，果然那个 7 分的就是他。但现在换到私校，还是剑桥、甚至全英最卷的私校，他立刻感受到了和学霸之间的差距。希望他不要落下太多。听说 Perse 私校为了保证升学率，每年还有大约 10% 的末位淘汰/劝退。 娃刚上私校两周，他最大的感受就是：作业怎么这么多！其实这就是现实——想要好的出路、好的考试结果，作业量必须得上来。相比之下，国外的公校更像是国家提供的福利，你爱学不学；反倒是咱们国内的公校，因为社会主义体制，国家出钱培养，管得更紧。 本文一共 448 个汉字, 你数一下对不对. 给娃补数学: 三角函数(因为公校还没教). (AMP 移动加速版本) 赞赏我的几个理由. …
使用 Bash 脚本计算最大公约数（GCD） 什么是 GCD？ GCD 是 最大公约数（Greatest Common Divisor） 的缩写。 它是能同时整除两个整数的最大正整数。 例如： 8 和 12 的 GCD 是 4 14 和 49 的 GCD 是 7 GCD 常用于化简分数、密码算法以及数论中。 …
